數學上,分數微積分(fractional calculus)是數學分析的一個分支,它研究微分算子
和積分算子J的實數次冪的可能應用(通常不寫作I,以避免和其他I形符號產生混淆)。
在這個上下文中,冪指反覆應用,和
![{\displaystyle \,f^{2}(x)=f(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c052f63fd27dd89d900fca14c6ae93056c32af90)
中的平方意義相同。例如,可以提出如何解釋如下符號的問題
![{\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09bb2792735635495d9638374cea75b81f37fb1)
作為微分算子的平方根(半次操作),也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。
更一般的,
![{\displaystyle D^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2303f762ed832af70154f7f9d06a6a7b673c5085)
對於實數值的n,使得當n為整數時,若n>0,它等同於通常的冪n次操作,當n<0,它等同於n次積分J。
討論這個問題有幾個原因。一個是,這樣冪Dn組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究,有一個有趣的理論。注意,分數是個錯誤的記號,因為指數可以取非有理數,但是分數微積分已成為習慣用法。
歷史緣由[編輯]
在應用數學與數學分析中,一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年,萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中,其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子,以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的,奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展,許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。
試探法[編輯]
一個很自然的想法是問,是否存在一個算子
起到半導數的作用,即使得:
![{\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82cb830b2c46a48e64087bca5cafa04ec99b6515)
結論是:這樣的算子是存在的,對於任意
,存在一個算子
,滿足:
,
或者換一個說法,
的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.
在這裏我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ函數的定義如下:
,
假設對函數
在0到x上求積分,我們可以形式的定義積分算子J:
![{\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd7a5d8fb23b43183130b4a68d698c3df71de94)
重複這個過程,可得:
,
這個過程可以任意的重複下去。
利用重複積分的柯西公式,即:
![{\displaystyle (J^{n}f)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f58539f920aa7bb24f3b5ad16935c12262032b)
我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。
直接利用
函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式
![{\displaystyle (J^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e634d2b6eea9e9e3bc76e3ac2440865f75f345a)
這個算子定義明確而且具有良好的性質。
可以證明J算子滿足如下關係
![{\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844a0faf80e835c9a1e9d331f9be67e12c623503)
這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難,而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。
分數微分在一個簡單函數上的應用[編輯]
函數
(藍色線條)的半導數(紫色線條)以及一階導數(紅色線條)
這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x(藍色),結果(綠色)在一般的積分(α=−1: y=x2/2,紫色)及一般的一次微分(α=+1: y=1,紅色)間連續變化。
假設有一個函數
。它的一階導數一般是:
。重複這一過程,得到更一般的結果:
,將階乘用伽瑪函數替換,可得:
。當k = 1,並且a = 1/2時我們可以得到函數
的半導數:
。重複這一過程,得:
,這正是期望的結果:
。
以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次。舉個例子,
階導數作用後,
階導數再作用,可以得到二階導數。同時如果a為負則可為求積分。
分數微分可以得到上述相同的結果(當
)。
![{\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha }}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d337eb957418d9d1a4ea9e4733620720b10cb0b)
對於任意的
,由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義,需要在分數微分前先進行整數微分。例如
![{\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a090d88a40fc98109908a06eb987f0735abf214)
拉普拉斯變換[編輯]
我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知
以及
然後繼續下去,我們可以推斷:
舉例來說:
如同預期一樣。的確,我們給出捲積性質。
然後為了方便,令 p(x) = xα − 1 ,我們發現到:
即得到柯西所給出的樣子。
拉普拉斯在一些較少的函數上有效,但是它在解分數微分方程上卻非常有用。
分數階積分[編輯]
分數階微分[編輯]
WKB近似
對於一個一維的量子系統進行准經典的近似時,系統哈密頓量
中
的倒數
可由對態密度的半階微分求出
![{\displaystyle V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi }}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}n(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed1739b68efeef544ab51d637521d9197ada1af)
這裏採用了自然單位制,即
[1]
相關條目[編輯]
參考文獻[編輯]
外部連結[編輯]